出来混,迟早要还的。
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  • 一个求和式的收敛问题 at 4天前

    @Mars_step 我把第一步跟在后面解释下吧

  • 一个求和式的收敛问题 at 4天前

    \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m-1}}{(2m-1)!}\bigg|_{x=\frac{\pi}{n}}\\{}\\ =\sum_{m=2}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m-1}}{(2m-1)!}\bigg|_{x=\frac{\pi}{n}}=\sum_{m=2}^\infty\left(\frac{(-1)^m\pi^{2m-1}}{(2m-1)!}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2m-1}}\right)\\{}\\ {\color{red}<}\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^m\pi^{2m-1}}{(2m-1)!}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^m\pi^{2m-1}}{(2m-1)!}\\{}\\ =\frac{\pi^2}{6}(\pi-\sin\pi)=\frac{\pi^3}{6}\\{}\\ \therefore\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)有上界\\{}\\ \because\sum_{n=1}^k\left(\frac{\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)随k增大单调递增\\{}\\ \therefore\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)收敛

    第一步是是因为\sin x的级数式是\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},由于原来的式子用的n,所以我在代数转换的时候用的m来表示级数的序列字母。
    \displaystyle\frac{\pi}{n}换成x,我们有\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(x-\sin x),我们知道\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+…,我们第一步是把\sin x换算成级数形式,把第一项x拆出来与(x-\sin x)x做抵消。这样我们会得到这样的式子:

    \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left[x-\left(x+\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}\right)\right]\\{}\\ =\sum_{n=1}^\infty\left(-\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}\right)

    现在这个内部求和式,前面有一个负号,不利于得到我们后面所需要的式子形式的转换。
    我们考虑把\sin^{\prime\prime}x=-\sin x,所以我们把求和式也求导两次:

    \displaystyle \left(\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}\right)^{\prime\prime}=\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m-1}}{(2m-1)!}

    这时候可能会注意到求和序列起点m=0变成m=1了,那是因为\sin x级数的第一项是x,它的一次导是1,两次导就没了,所以序列移位了。现在你可以带进这个求和式验算下,你会得出:

    \displaystyle -x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+...

    这其实就是-\sin x
    现在我们可以把求和式变成:

    \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(x+\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m-1}}{(2m-1)!}\right)\\{}\\ =\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^mx^{2m-1}}{(2m-1)!}

    所以我们得出一个结论:

    \displaystyle -\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!}

    由于\sin x、\cos x这样的函数导两次就是自己的相反数,所以它们的级数可以有无数个形式,但一般用的最多其实点是n0、1、2的形式,如有需要的话可以自行求导选择合适的级数式起始数。

  • learnku 有 App 吗? at 1周前

    现在这个时候先不考虑完美主义,网站要先跑稳,一个网站维护就已经需要占用全部精力了,以后合适的时候肯定会做 App 的。

  • 大家对 Laravel 的源代码和架构感兴趣么? at 1个月前
    其实不用说什么看不看质量了,难道大家在怀疑 Dennis 的质量吗?因为做视频需要的精力比写文章要多,写文章由于习惯,顺带让大家了解,视频的话,就超出习惯范围了,完全是一本正经的教学咯,所以视频肯定是收费比较好。
  • PHP 实现 Base64 加密算法 at 1个月前
    他之前学的很广泛,多年的积累
  • 为什么可以直接调用这个方法 at 1个月前

    截图不全

  • 基于本社区与人工的智能的感悟 at 1个月前

    这个版块太冷清了,加油啊

  • 任何傻瓜都能写机器执行代码,而优秀的程序员写的代码傻瓜都能看懂 at 1个月前
    非常赞同这个观点
  • 最近感触最深的一个观点 at 1个月前

    :√

  • 想省钱的兄弟们,可以试试谷歌的云服务器 at 1个月前
    @wwwj 怎么被封的
  • Git push 后提示 Permission denied(publickey). at 1个月前
    @好人二狗 看起来是个夜深人静的加班,🐶上线就好
  • PHP 命名空间 at 1个月前
    小细节比较多,真用起来,也就那么几种用法
  • 见习版主规则更新,这一次应该是志在必得了 at 1个月前

    💪💪💪

  • 学完一遍感想 at 1个月前

    加油

  • 萌新接触树莓派,入门需要什么 at 1个月前

    我的树莓派已经吃灰一年了,包装都没拆

  • PHP 条件循环巩固 at 1个月前
    👌感谢提醒
  • 一直到写完,右上角个人中心始终没有下拉 at 1个月前
    谢谢你的回答!我重做一遍项目吧,都试过了,这个问题很无奈了
  • 北京-真心求职 at 1个月前

    加油,低学历的窘境,用过硬的技术去打破,我也自考 :see_no_evil:

  • 一直到写完,右上角个人中心始终没有下拉 at 1个月前

    @likunyan
    这样之后就出现了新的错误:
    Symfony\Component\Debug\Exception\FatalThrowableError
    Call to a member function orderBy() on null

  • 一直到写完,右上角个人中心始终没有下拉 at 1个月前

    @likunyan 还在吗,能否帮我看个无厘头的问题,我卡在了 10.3 章节。关于 UsersController.php 的 public function show() 的问题:
    app/Http/Controllers/UsersController.php

    <?php
    
    namespace App\Http\Controllers;
    
    use Illuminate\Http\Request;
    use App\Models\User;
    use Auth;
    use Mail;
    
    class UsersController extends Controller
    {
    .
    .
    .
    public function show(User $user)
        {
            $statuses = $user->statuses()
                               ->orderBy('created_at', 'desc')
                               ->paginate(10);
            return view('users.show', compact('user', 'statuses'));
        }
    .
    .
    .
    }

    app/Models/User.php

    <?php
    
    namespace App\Models;
    
    use Illuminate\Contracts\Auth\MustVerifyEmail;
    use Illuminate\Foundation\Auth\User as Authenticatable;
    use Illuminate\Notifications\Notifiable;
    use Illuminate\Support\Str;
    
    class User extends Authenticatable
    {
    .
    .
    .
    public function statuses()
        {
            return $this->hasMany(Status::class);
        }
    }

    app/Models/Status.php

    <?php
    
    namespace App\Models;
    
    use Illuminate\Database\Eloquent\Model;
    
    class Status extends Model
    {
        public function user()
        {
            return $this->belongsTo(User::class);
        }
    }
    

    数据库迁移都没问题,数据库里,用户文章数据都生成的很成功。
    打开 http://weibo.test/users/2 报错:
    BadMethodCallException
    Call to undefined method App\Models\User::statuses()
    我用的是 Laravel6.x,报错页面中的 Stack Trace 提示我 app/Http/Controllers/UsersController.php 里面的 public function show(User $user) {} 里面的 $statuses = $user->statuses() 这行有问题,但是我的编辑器 Sublime 的智能显示这里的 statuses 被 Definition 定义在 app/Models/User.php 里面,app/Models/User.php 里面的 public function statuses(){return $this->hasMany(Status::class);} 也被编辑器智能显示被 app\Http\Controllers\UsersController.php Reference 调用的很成功。